Question

9．已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于E點，且△AEF為等邊三角形
（1）求證：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA=$\sqrt{7}$AF，求證：CF⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O直徑，得到∠ACB=90°，由于△AEF為等邊三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過點A作AM⊥DF于點M，設(shè)AF=2a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到FM=EM=a，AM=$\sqrt{3}$a，在根據(jù)已知條件得到AB=AF+BF=8a，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF為等邊三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；

（2）過點A作AM⊥DF于點M，設(shè)AF=2a，
∵△AEF是等邊三角形，∴FM=EM=a，AM=$\sqrt{3}$a，
在Rt△DAM中，AD=$\sqrt{7}$AF=2$\sqrt{7}$a，AM=$\sqrt{3}a$，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=2a，
∴CE=AC-AE=2a，
∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AB．

點評 本題考查了圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．