Question

3．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，把正方形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′C′D′，則正方形ABCD與正方形A′B′C′D′重疊部分形成的正八邊形的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 首先求出正方形的對(duì)角線長(zhǎng)；進(jìn)而求出OA′的長(zhǎng)；證明△A′MN為等腰直角三角形，求出A′N的長(zhǎng)度；同理求出D′M′的長(zhǎng)度，即可解決問題．

解答 解：連接OA′，交AB于M，如圖所示：
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴該正方形的對(duì)角線長(zhǎng)=2$\sqrt{2}$，
∴OA′=$\sqrt{2}$；而OM=1，
∴A′M=$\sqrt{2}$-1；
由題意得：∠MA′N=45°，∠A′MN=90°，
∴∠MNA′=45°，
∴MN=A′M=$\sqrt{2}$-1；
由勾股定理得：A′N=2-$\sqrt{2}$；
同理可求D′M′=2-$\sqrt{2}$，
∴NM'=2-（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
∴正八邊形的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$-2，
故答案為2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用；應(yīng)牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)，這是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．