Question

11．如圖，點(diǎn)A₁（1，0）在x軸上，過點(diǎn)A₁作A₁B₁∥y軸交直線y=$\sqrt{3}$x于點(diǎn)B₁，以A₁B₁為邊在A₁B₁的右側(cè)作等邊△A₁B₁C₁，再過點(diǎn)C₁作A₂B₂∥y軸，分別交直線x軸和直線y=$\sqrt{3}$x于A₂，B₂兩點(diǎn)，再以A₂B₂為邊在A₂B₂的右側(cè)作等邊△A₂B₂C₂…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則等邊△A_nB_nC_n的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$[$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$]²（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 由點(diǎn)A₁的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出A₁B₁的長(zhǎng)度，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)A₂的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)B₂的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出A₂B₂的長(zhǎng)度，同理可得出：A_nB_n的長(zhǎng)度，根據(jù)等邊三角形的面積公式即可求出△A_nB_nC_n的面積．

解答 解：當(dāng)x=1時(shí)，y=$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B₁（1，$\sqrt{3}$），
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$；
∵△A₁B₁C₁為等邊三角形，點(diǎn)A₁（1，0），
∴點(diǎn)A₂（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$，0），即（$\frac{5}{2}$，0）
∴點(diǎn)B₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$），
∴A₂B₂=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$；
同理可得出：A₃B₃=$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$，A₄B₄=$\frac{125}{8}$$\sqrt{3}$，…，A_nB_n=$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A_nB_n²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$[$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$]²．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$[$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$]²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出A_nB_n的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．