Question

19．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交于BC點(diǎn)M，MN⊥AC于點(diǎn)N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）先判定OM⊥MN，再說(shuō)明點(diǎn)M在圓上即可，
（2）圓中陰影部分面積的計(jì)算，用割補(bǔ)法求解．

解答 證明：（1）如圖，

連接OM． 
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB． 
∵AB=AC，
∴∠B=∠C． 
∴∠OMB=∠C． 
∴OM∥AC． 
∵M(jìn)N⊥AC，
∴OM⊥MN． 
∵點(diǎn)M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切線． 
（2）如圖，

連接AM． 
∵AB為直徑，點(diǎn)M在⊙O上，
∴∠AMB=90°． 
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°． 
∴∠AOM=60°． 
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于點(diǎn)N，
∴∠AMN=30°． 
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=$\frac{1}{2}$
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴S _梯形ANMO=$\frac{（AN+OM）MN}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$，
S _扇形OAM=$\frac{60π×1}{360}$=$\frac{π}{6}$，
∴S _陰影=$\frac{9\sqrt{3}-4π}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是切線的判定題，主要考查了切線的判定定理，用割補(bǔ)法求陰影部分的面積，解本題的關(guān)鍵是陰影部分面積的計(jì)算．