Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是邊AC上一點，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓分別交AB，AC于點E，D，在BC的延長線上取點F，使得BF=EF，EF與AC交于點G．
（1）試判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠OEG=90°，即可得到結(jié)論；
（2）由AD是⊙O的直徑，得到∠AED=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠EOD=60°，求得∠EGO=30°，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切線；

（2）∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵AO=2，
∴OE=2，
∴EG=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=$\frac{1}{2}×$2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．