Question

4．△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示．（不寫(xiě)解答過(guò)程，直接寫(xiě)出結(jié)果）
（1）若△A₁B₁C₁與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，-3）；
（2）將△ABC向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A₂B₂C₂，則點(diǎn)B₂的坐標(biāo)為（3，1）；
（3）將△ABC繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)C走過(guò)的路徑長(zhǎng)為π；
（4）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{4}$，0）．

Answer 1

分析 （1）利用關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解；
（2）利用點(diǎn)的平移規(guī)律求解；
（3）點(diǎn)C走過(guò)的路徑為以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑，圓心角為90度的弧，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算點(diǎn)C走過(guò)的路徑長(zhǎng)；
（4）先確定點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′坐標(biāo)為（-1，-1），連結(jié)AB′交x軸于P點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可確定PA+PB的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線AB′的解析式，然后求直線AB′與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)就看得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）若△A₁B₁C₁與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，-3）；
（2）將△ABC向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A₂B₂C₂，則點(diǎn)B₂的坐標(biāo)為（3，1）；
（3）將△ABC繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)C走過(guò)的路徑長(zhǎng)=$\frac{90•π•2}{180}$=π；
（4）B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′坐標(biāo)為（-1，-1），
連結(jié)AB′交x軸于P點(diǎn)，則PA+PB=PA+PB′=AB′，此時(shí)PA+PB的值最小，
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，
把A（-2，3），B′（-1，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{-k+b=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
所以直線AB′的解析式為y=-4x-5，
當(dāng)y=0時(shí)，-4x-5=0，解得x=-$\frac{5}{4}$，
所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{4}$，0）．
故答案為（2，-3）；（3，1）；π；（-$\frac{5}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換與最短路徑問(wèn)題．