Question

19．如圖點(diǎn)A（1，2）、B（2，1）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$圖象上，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$在第一象限圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P′，以P P′為邊作等邊△P P′C，點(diǎn)C（x，y）在第四象限．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（$2\sqrt{3}，-\sqrt{3}$）．
（2）已知點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在y軸上，若以A、G、F、C這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y≤-6或-3＜y≤-2．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作PE⊥y軸于E，CF⊥x軸于F，連接OC，設(shè)P（m，n）．首先證明C（$\sqrt{3}$n，-$\sqrt{3}$m），點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$上（x＞0）；
（2）利用（1）中結(jié)論，分兩種情形討論即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作PE⊥y軸于E，CF⊥x軸于F，連接OC，設(shè)P（m，n）．

易證△POE∽△COF，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{PE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CF=$\sqrt{3}$n，OF=$\sqrt{3}$m，
∴C（$\sqrt{3}$n，-$\sqrt{3}$m），
∵mn=2，
∴$\sqrt{3}$n•（-$\sqrt{3}$m）=-3mn=-6，
∴點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$上（x＞0），
當(dāng)P與A重合時(shí)，C（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
故答案為（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）．

（2）如圖2中，

觀察圖象可知：當(dāng)CF為邊時(shí)，G與B重合，CF=AB=$\sqrt{2}$，此時(shí)C（1，-6），
∴y≤-6時(shí)，存在以A、G、F、C這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
當(dāng)CF為對(duì)角線時(shí)，G與B重合時(shí)，易證C′（3，-2），G與A重合時(shí)，A是C′F′的中點(diǎn)，此時(shí)C（2，-3），
觀察圖象可知當(dāng)-3＜y≤-2時(shí)，存在以A、G、F、C這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
綜上所述，滿足條件的y的取值范圍為y≤-6或-3＜y≤-2．
故答案為y≤-6或-3＜y≤-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，屬于中考填空題中的壓軸題．