Question

12．如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為對角線AC上的一個動點，連結(jié)DE，EF⊥DE交射線BC與點F，設(shè)AE為x．
（1）當x取何值時，DE的值最小；
（2）設(shè)CF=y，當點F在線段BC上時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試探索：當x為何值時，△EFC為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）當DE⊥AC時，DE的值最小，利用矩形的性質(zhì)可證明△AED∽△ADC，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AE的長，即可求得x的值；
（2）過點E作MN⊥BC，分別交AD、BC于M、N，可證明△AME∽△ADC，可用x表示出MD和ME，進一步可證明△DME∽△ENF，可找到y(tǒng)與x之間的關(guān)系式；
（3）分點F在線段BC上和在線段BC的延長線上，當點F在線段BC上時，可證明△DEF≌△DCF，可得到DF⊥AC，可求得HC，則可求得AE；當點F 在線段BC的延長線上時，可證明AD=AE，可求得AE的長，則可得出x的值．

解答 解：
（1）當DE⊥AC時，DE的值最小，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，且AD=4，AB=3，
∴AC=5，
∵DE⊥AC，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{4}{5}$=$\frac{AE}{4}$，解得AE=$\frac{16}{5}$，
∴x的值為$\frac{16}{5}$；
（2）如圖1，過點E作MN⊥BC，分別交AD、BC于M、N，

∵MN∥DC，
∴△AME∽△ADC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{ME}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{AM}{4}$=$\frac{ME}{3}$=$\frac{x}{5}$，
∴AM=$\frac{4}{5}$x，ME=$\frac{3}{5}$x，
∴MD=4-$\frac{4}{5}$x，NE=3-$\frac{3}{5}$x，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEM+∠FEN=90°，
∵∠DME=90°，
∴∠DEM+∠EDM=90°，
∴∠EFN=∠EDM，
∵∠DME=∠ENF=90°，
∴△DME∽△ENF，
∴$\frac{DM}{EN}$=$\frac{ME}{NF}$，即$\frac{4-\frac{4}{5}x}{3-\frac{3}{5}x}$=$\frac{\frac{3}{5}x}{NF}$，
∴NF=$\frac{9}{20}$x，
∵CF=BC-FN-NF，
∴y=4-$\frac{4}{5}$x-$\frac{9}{20}$x=4-$\frac{5}{4}$x；
（3）當點F在線段BC上時，如圖2，連接DF，交AC于點H，

∵∠EFC＞90°，
∴當△EFC為等腰三角形時，則有FE=FC，
在R△DEF和Rt△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{EF=CF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△DEF≌△DCF（HL），
∴∠EFD=∠CFD，
∴DF⊥AC，
由（1）可知AH=$\frac{16}{5}$，
∴HC=AC-AH=5-$\frac{16}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴AE=5-2HC=5-$\frac{9}{5}$×2=$\frac{7}{5}$；
當點F在BC的延長線上時，如圖3，延長DE交BC于H，

∵∠ECF＞90°，
∴當△EFC為等腰三角形時，則有CE=CF，
∵∠FEH=90°，CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∴∠F+∠EHC=∠HEC+∠CEF=90°，
∴∠EHC=∠HEC，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CHE，∠AED=∠CEH，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=4；
綜上可知當△EFC為等腰三角形時，x的值為$\frac{7}{5}$或4．

點評 本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識點有矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及分類討論思想．在（1）中確定出DE最小值時E點的位置是解題的關(guān)鍵，在（2）中用x表示出NF是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意分兩種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．