Question

14．已知矩形ABCD中，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，且四邊形EFDC與矩形ABCD相似．
（1）求證：四邊形ABEF是正方形；
（2）求證：F點(diǎn)是AD的黃金分割點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意證明四邊形ABEF是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=AF，證明結(jié)論；
（2）根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到AB²=FD•AB，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到答案．

解答 證明：（1）∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°，
∴四邊形ABEF是矩形，
由折疊的性質(zhì)可知AB=AF，
∴四邊形ABEF是正方形；
（2）∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似
∴$\frac{FD}{AB}$=$\frac{CD}{AD}$，又AB=CD，
∴AB²=FD•AB，又AB=AF，
∴AF²=FD•AB，
∴F點(diǎn)是AD的黃金分割點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)和黃金分割的概念，掌握相似多邊形的性質(zhì)為：對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵，注意把線段分成兩條線段，且使較長是已知線段和較短的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割．