Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，過A（-2，0）， C（0，6）兩點的拋物線y=-x²+ax+b與x軸交于另一點B，點D是拋物線的頂點．
（1）求a、b的值；
（2）點P是x軸上的一個動點，過P作直線l∥AC交拋物線于點Q．隨著點P的運動，若以A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；
（3）在直線AC上是否存在一點M，使△BDM 的周長最�。咳舸嬖�，請找出點M并求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只需把點A、C的坐標代入拋物線的解析式就可解決問題；
（2）由題可得|y_Q|=|y_C|=6，從而得到y(tǒng)_Q=±6，代入拋物線的解析式，就可解決問題；
（3）由于BD是定值，要使△BDM的周長最小，只需MB+MD最小，作點B關于直線AC的對稱點為B′，連結BB′交AC于F，連結B′D，B′D與AC的交點就是要探求的點M．作B′E⊥x軸于E，如圖所示，要求點M的坐標，只需求出直線B′D與直線AC的解析式，只需求出點B′的坐標，可通過△BAF∽△CAO求出BF，從而求出BB′，再通過△BB′E∽△BAF求出BE，進而可求出OE、B′E，問題得以解決．

解答 解：（1）∵A（-2，0）， C（0，6）在拋物線y=-x²+ax+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4-2a+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴a、b的值分別為1、6；

（2）①若點Q在x軸的上方，則y_Q=y_C=6，
∴-x²+x+6=6，
解得x₁=0，x₂=1，
∴Q（1，6）；
②若點Q在x軸的下方，則y_Q=-y_C=-6，
∴-x²+x+6=-6，
解得x₁=4，x₂=-3，
∴Q（4，-6）或（-3，-6）．
綜上所述：符合條件的點Q的坐標為（1，6）、（4，-6）、（-3，-6）；

（3）設點B關于直線AC的對稱點為B′，連結BB′交AC于F，
連結B′D，B′D與AC的交點就是要探求的點M．
作B′E⊥x軸于E，如圖所示，

∵AO=2，CO=6，
∴AC=2$\sqrt{10}$．
令y=0，得-x²+x+6=0，
解得x₁=3，x₂=-2，
∴B（3，0），AB=3-（-2）=5．
由y=-x²+x+6=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{4}$可得，
頂點D的坐標（$\frac{1}{2}$，$\frac{25}{4}$）．
∵∠CAO=∠BAF，∠AOC=∠AFB=90°，
∴△BAF∽△CAO，
∴$\frac{BF}{CO}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{BF}{6}$=$\frac{5}{2\sqrt{10}}$，
∴BF=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴BB′=3$\sqrt{10}$．
∵∠ABF=∠B′BE，∠B′EB=∠AFB=90°，
∴△BB′E∽△BAF，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{BB′}{BA}$，
∴$\frac{BE}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴BE=9，
∴OE=9-3=6，B′E=$\sqrt{BB{′}^{2}-B{E}^{2}}$=3，
∴B′（-6，3）．
設直線AC的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{n=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=3x+6．
同理直線B′D的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{y=\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴點M的坐標為（0，6）．

點評 本題主要考查了拋物線上點的坐標特征、運用待定系數(shù)法求直線及拋物線的解析式、求兩直線的交點坐標、兩點之間線段最短、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理等知識，由條件得到|y_Q|=|y_C|=6是解決第（2）小題的關鍵，運用軸對稱性及兩點之間線段最短是解決第（3）小題的關鍵．