Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，1），B（3，3），動(dòng)點(diǎn)C在x軸上，若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 首先根據(jù)線段的中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，求出AB的中垂線與x軸的交點(diǎn)，即可求出點(diǎn)C₁的坐標(biāo)；然后再求出AB的長，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C₂、C₃；最后判斷出以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與x軸沒有交點(diǎn)，據(jù)此判斷出點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為多少即可．

解答 解：如圖，


∵AB所在的直線是y=x，
∴設(shè)AB的中垂線所在的直線是y=-x+b，
∵點(diǎn)A（1，1），B（3，3），
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（2，2），
把x=2，y=2代入y=-x+b，
解得b=4，
∴AB的中垂線所在的直線是y=-x+4，
∴C₁（4，0）
以點(diǎn)A為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C₂、C₃；
AB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵2$\sqrt{2}$＜3，
∴以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與x軸沒有交點(diǎn)．
綜上，可得若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．