Question

6．如圖，點(diǎn)P（-2，3）在雙曲線(xiàn)上，點(diǎn)E為該雙曲線(xiàn)在第四象限圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，并與x軸和y軸分別交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則△AOB面積為（　�。�

• A． 24
• B． 12
• C． 6
• D． 不確定

Answer 1

分析 先利用待定系數(shù)法求出雙曲線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$，再設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的解析式得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)△=0得出b²=24k，把b²=24k代入△AOB面積的表達(dá)式即可求解．

解答 解：∵點(diǎn)P（-2，3）在雙曲線(xiàn)上，
∴雙曲線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$．
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，得 kx²+bx+6=0，
∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=b²-4•k•6=0，即b²=24k．
∵直線(xiàn)y=kx+b與x軸和y軸分別交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，
∴A（-$\frac{k}$，），B（0，b），
∴△AOB面積=$\frac{1}{2}$•|-$\frac{k}$|•|b|=$\frac{^{2}}{2k}$=$\frac{24k}{2k}$=12．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)的解析式，一元二次方程根的判別式，三角形的面積，由直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)得出b²=24k是解題的關(guān)鍵．