Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5．點(diǎn)E在邊BC上，以AE為邊作正方形AEFG，頂點(diǎn)F恰好在邊CD上，F(xiàn)G與AD交于點(diǎn)H．則DH的長(zhǎng)為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B=∠C，∠BAE=∠FEC，AE=EF，證得△ABE≌△FEC，再通過(guò)△DHF∽△FEC，得到比例式，于是得到結(jié)果．

解答 解：在矩形ABCD中，
∵∠B=∠C=∠D=90°，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△ABE與△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FEC}\\{∠B=∠C}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FEC，
∴CE=AB=4，BE=CF=1，
∴EF=$\sqrt{{4}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
同理可證∠DFH=∠FEC，
∴△DHF∽△FEC，
∴$\frac{DH}{CF}=\frac{DF}{CE}$，
∵DF=CD-CF=3，
∴$\frac{DH}{1}=\frac{3}{4}$，
∴DH=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟記定理是解題的關(guān)鍵．