Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B與邊AB相交于點D，與邊BC相交于點E，設(shè)⊙B的半徑為x．
（1）當(dāng)⊙B與直線AC相切時，求x的值；
（2）設(shè)DC的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）若以AC為直徑的⊙P經(jīng)過點E，求⊙P與⊙B公共弦的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，求出AG，再由割線定理，求出BH即可；
（2）由相似得出比例式，表示出DF，CF，由勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)圓的性質(zhì)求出BE，CE，再用△BQP∽△BGE，求出EG即可，

解答 解：（1）如圖1，

作AG⊥BC，BH⊥AC，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG=2，
∴AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵AG×BC=BH×AC，
∴BH=$\frac{AG×BC}{AC}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴當(dāng)⊙B與直線AC相切時，x=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$；
（2）如圖2，

作DF⊥BC，
∴DF∥AG，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AG}$，
∴$\frac{x}{6}=\frac{DF}{4\sqrt{2}}$，
∴DF=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
∴CF=4-$\frac{1}{3}$x，
在Rt△CFD中，CD²=DE²+CF²，
∴y=$\sqrt{（4-\frac{1}{3}x）^{2}+（{\frac{2\sqrt{2}}{3}x）}^{2}}$=$\sqrt{x2-\frac{8}{3}x+16}$（0＜x≤4），
（3）①如圖3，

作PQ⊥BC，連接PE，AE，
∵EF是⊙B，⊙P的公共弦，
∵⊙P經(jīng)過點E，
∴PA=PE=PC，
∴AE⊥BC，
∵AC=AB，
∴BE=CE=2，
∵PQ∥AE，且P是AC中點，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{2}$，CP=3，
∴CQ=1，BQ=3，
∴BP=$\sqrt{17}$，
∵EF是⊙P，⊙B的公共弦，
∴∠BGE=90°=∠BQP（兩圓的連心線垂直于公共弦）
∵∠EBG=∠PBQ
∴△BQP∽△BGE，
∴$\frac{EG}{PQ}=\frac{BE}{BP}$，
∴$\frac{EG}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{17}}$，
∴EG=$\frac{4\sqrt{34}}{17}$，
∴EF=$\frac{8\sqrt{34}}{17}$；
②當(dāng)點E，與點C重合時，EF=$\frac{16\sqrt{34}}{17}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了勾股定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用圓中角的關(guān)系，判斷三角形相似．