Question

17．如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C在第一象限，頂點(diǎn)A、B分別在函數(shù)y=$\frac{8}{x}$圖象的兩個(gè)分支上，且AB經(jīng)過原點(diǎn)O，BC與x軸相交于點(diǎn)D，連接AD，已知AD平分四邊形AODC的面積．
（1）證明：BD=2CD：
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性和三角線的面積公式得到S_△ABO=2S_△ACD．即BD=2CD；
（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過點(diǎn)C作CF⊥x于F，連接OC，構(gòu)建全等三角形△OBE≌△CDF，結(jié)合該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到：BE=CD，OE=CF，由$\frac{BE}{CF}$=$\frac{BD}{CD}$=2推知BE=2OE．設(shè)OE=a，則BE=2a，所以B（a，-2a），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性來求點(diǎn)A的坐標(biāo)即可．

解答 （1）證明：∵函數(shù)y=$\frac{8}{x}$圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OA=OB，
∴S_△AOD=S_△BOD．
∵AD平分四邊形AODC的面積，
∴S_△AOD=S_△ACD．
∴S_△ABO=2S_△ACD．
∴BD=2CD；

（2）解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過點(diǎn)C作CF⊥x于F，連接OC，則∠BEO=∠OFC=90°．
∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB，
∴∠BOC=90°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OB，
∴∠BOE+∠COF=90°，而∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠OBE=∠COF，
∵在△OBE與△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠OFC}\\{OBE=∠COF}\\{OB=CO}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△CDF（AAS），
∴BE=CD，OE=CF，
∵∠DBE=∠DCF，
∴cos∠DBE=cos∠DCF，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{CF}{CD}$，
∵$\frac{BE}{CF}$=$\frac{BD}{CD}$=2，
∴BE=2CF，
∴BE=2OE．
設(shè)OE=a，則BE=2a，
∴B（a，-2a），
∴a•（-2a）=-8，
解得a=2，
∴B（2，-4），
∴A（-2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，綜合運(yùn)用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，難度不大，屬于中檔題．