Question

3．已知x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-px+q=0的兩根，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=3，x₁²+x₂²=7．求：p+q的值．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=p，x₁•x₂=q，則x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=p²-2q=7，即p²-2q=7，①$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{p}{q}$=3，即$\frac{p}{q}$=3，②由①②聯(lián)立可以求得p、q的值．

解答 解：∵關(guān)于x的方程x²-px+q=0的兩根分別是x₁、x₂，
∴x₁+x₂=p，x₁•x₂=q，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=p²-2q=7，即p²-2q=7，①$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$═$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{p}{q}$=3，即$\frac{p}{q}$=3，②
由①②，得9q²-2q-7=0，
（q-1）（9q+7）=0，
解得，q=1，p=3或q=-$\frac{7}{9}$，p=-$\frac{7}{3}$；
∴p+q=3+1=4或p+q=-$\frac{7}{9}$-$\frac{7}{9}$=-$\frac{28}{9}$，
綜上所述，p+q的值是4或-$\frac{28}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．