Question

3．如圖，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經過點A（2$\sqrt{3}$，1），直線AB與反比例函數圖象交與另一點B（1，a），射線AC與y軸交于點C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）求tan∠DAC的值及直線AC的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征易得k=2$\sqrt{3}$，從而求得反比例函數解析式；
（2）作BH⊥AD于H，如圖1，根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定B點坐標為（1，2$\sqrt{3}$），確定AH=2$\sqrt{3}$-1，BH=2$\sqrt{3}$-1，可判斷△ABH為等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，根據特殊角的三角函數值得tan∠DAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；由于AD⊥y軸，則OD=1，AD=2$\sqrt{3}$，然后在Rt△OAD中利用正切的定義可計算出CD=2，易得C點坐標為（0，-1），于是可根據待定系數法求出直線AC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1；

解答 解：（1）由反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經過點A（2$\sqrt{3}$，1），得：
k=2$\sqrt{3}$×1=2$\sqrt{3}$，
∴反比例函數為y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0），
（2）作BH⊥AD于H，如圖1，
把B（1，a）代入反比例函數解析式y(tǒng)=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0），得a=2$\sqrt{3}$，
∴B點坐標為（1，2$\sqrt{3}$），
∴AH=2$\sqrt{3}$-1，BH=2$\sqrt{3}$-1，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵AD⊥y軸，
∴OD=1，AD=2$\sqrt{3}$，
∵tan∠DAC=$\frac{CD}{DA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=2，
∴OC=1，
∴C點坐標為（0，-1），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（2$\sqrt{3}$，1）、C（0，-1）代入
得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
解$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1；

點評 本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征和待定系數法求一次函數解析式；作出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．