Question

8．如圖，直線y=-x+8與x軸、y軸交于A、B兩點，點P、點Q同時從點O出發(fā)，分別以每秒3個單位和每秒4個單位的速度沿x軸、y軸方向移動，連接PQ．設(shè)移動的時間為t秒（0＜t＜2），以點P為中心，順時針旋轉(zhuǎn)△POQ，使旋轉(zhuǎn)后的△O′PQ′的邊PQ′恰好落在x軸上．
（1）當(dāng)點Q′與點A重合時，求此時的t的值；
（2）設(shè)△O′PQ′與△ABO重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）點Q′與點A重合即OP+PQ=OA，據(jù)此即可列方程求解；
（2）當(dāng)0＜t≤1時，重合部分就是△△O′PQ′，根據(jù)三角形的面積公式即可直接求解；然后求得當(dāng)O'正好在AB上時t的值，然后分大于這個值和小于這個值兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）在y=-x+8中，令y=0，解得：x=8，即A的坐標(biāo)是（8，0），OA=8．
在直角△OPQ中，OQ=4t，OP=3t，
則PQ=$\sqrt{O{P}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{（4t）^{2}+（3t）^{2}}$=5t，
根據(jù)題意得：3t+5t=8，
解得：t=1．
即t=1時，點Q′與點A重合；
（2）當(dāng)0＜t≤1時，重合部分就是△△O′PQ′即△OPQ，則y=$\frac{1}{2}$×3t×4t=6t²；
當(dāng)O'正好在AB上時，如圖1．
Q'O'=4t，O'P=3t，PQ'=5t，
作O'C⊥x軸于點C．
則O'C=$\frac{PQ'•O'P}{PQ'}$=$\frac{12}{5}$t．
PC=$\frac{9}{5}$t．OC=3t+$\frac{9}{5}$t=$\frac{24}{5}$t．
故O'的坐標(biāo)是（$\frac{24}{5}$t，$\frac{12}{5}$t）．
把O'的坐標(biāo)是（$\frac{24}{5}$t，$\frac{12}{5}$t）代入y=-x+8得：$\frac{12}{5}$t=-$\frac{24}{5}$t+8，
解得：t=$\frac{10}{9}$．
當(dāng)1＜t＜$\frac{10}{9}$時，如圖2設(shè)O'Q'交AB于點D．
Q'的坐標(biāo)是（8t，0），O'的坐標(biāo)是（$\frac{24}{5}$t，$\frac{12}{5}$t）．
設(shè)O'Q'的解析式是y=kx+b．
則$\left\{\begin{array}{l}{8tk+b=0}\\{\frac{24}{5}tk+b=\frac{12}{5}t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6t}\end{array}\right.$，
則函數(shù)的解析式是：y=-$\frac{3}{4}$x+6t．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=-\frac{3}{4}x+6t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=32-24t}\\{y=24t-24}\end{array}\right.$．
即D的坐標(biāo)是（32-24t，24t-24）．
則S=S_△PO'Q'-S_△AQ'D=6t²-$\frac{1}{2}$（8t-8）（24t-24），即y=-90t²+192t-96；
當(dāng)$\frac{10}{9}$≤t＜2時，如圖3．
設(shè)PO'和AB相交于點E．
設(shè)PO'的解析式是：y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{3mt+n=0}\\{\frac{24}{5}mt+n=\frac{12}{5}t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=-4t}\end{array}\right.$，
則PO'的解析式是：y=$\frac{4}{3}$x-4t．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{4}{3}x-4t}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12t+24}{7}}\\{y=\frac{32-12t}{7}}\end{array}\right.$．
即E的坐標(biāo)是（$\frac{12t+24}{7}$，$\frac{32-12t}{7}$）．
PA=8-3t，
則S=$\frac{1}{2}$（8-3t）×$\frac{32-12t}{7}$，即S=$\frac{2}{7}$（8-3t）²．

點評 本題是二次函數(shù)與三角形的面積公式相結(jié)合的題目，關(guān)鍵是求得當(dāng)O'正好在AB上時t的值，正確進(jìn)行討論．