Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，將△AOB沿直線AB翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)O′處，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到OA=2，OB=1，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AO′=AO=2，BO′=BO=1，∠AO′B=90°，延長(zhǎng)AC交y軸于C，過(guò)O′作O′D⊥OA于D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BC=$\frac{5}{3}$，CO′=$\frac{4}{3}$，得到OC=$\frac{8}{3}$，AC=$\frac{10}{3}$，根據(jù)O′D∥OC，得到△ADO′∽△AOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=2，
∴A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
∵將△AOB沿直線AB翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)O′處，
∴AO′=AO=2，BO′=BO=1，∠AO′B=90°，
延長(zhǎng)AC交y軸于C，
過(guò)O′作O′D⊥OA于D，
∴∠CO′B=∠AOC=90°，
∵∠BCO′=∠ACO，
∴△BCO′∽△ACO，
∴$\frac{CO′}{OC}=\frac{O′B}{OA}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{CO′}{1+BC}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{BC}{2+OC}$，
∴BC=$\frac{5}{3}$，CO′=$\frac{4}{3}$，
∴OC=$\frac{8}{3}$，AC=$\frac{10}{3}$，
∵O′D⊥OA，
∴O′D∥OC，
∴△ADO′∽△AOC，
∴$\frac{DO′}{OC}$=$\frac{AO′}{AC}$=$\frac{AD}{AO}$，即$\frac{DO′}{\frac{8}{3}}$=$\frac{2}{\frac{10}{3}}$=$\frac{AD}{2}$，
∴DO′=$\frac{8}{5}$，AD=$\frac{6}{5}$，
∴OD=$\frac{4}{5}$，
∴O′（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
故答案為：（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．