Question

14．類比特殊四邊形的學(xué)習(xí)，我們可以定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．

探索體驗(yàn)
（1）如圖①，已知四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．
（2）如圖②，若AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，那么四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”嗎？試說(shuō)明理由．
嘗試應(yīng)用
（3）如圖③，在邊長(zhǎng)為6的正方形木板ABEF上裁出“等對(duì)角四邊形”ABCD，若已經(jīng)確定DA=4，∠DAB=60°，是否在正方形ABEF內(nèi)（包括邊上）存在一點(diǎn)點(diǎn)C，使四邊形ABCD以∠DAB=∠BCD為等對(duì)角的四邊形的面積最大？若存在，試求出四邊形ABCD的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，根據(jù)定義，即可求得∠D的度數(shù)，然后由四邊形內(nèi)角和定理，求得∠C的度數(shù)．
（2）首先連接BD，由AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，可得∠ABD=∠ADC，△ABD與△CBD不相似，即∠A≠∠C，則可證得結(jié)論；
（3）首先連接BD，由當(dāng)∠DAB=∠BCD=60°時(shí)，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，可得此時(shí)點(diǎn)C在BD為弦的$\widehat{CD}$上，即可得要使四邊形ABCD的面積最大，則點(diǎn)C在邊BE上，然后過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，作DM⊥BC于點(diǎn)M，利用勾股定理求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-80°-80°-70°=130°；

（2）證明：如圖2，連接BD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，
∴∠ABC=∠ADC，
∵AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，且BD=BD，
∴△ABD與△CBD不相似，
∴∠A≠∠C，
∴四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”．

（3）如圖3，連接BD，
當(dāng)∠DAB=∠BCD=60°時(shí)，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，
此時(shí)點(diǎn)C在BD為弦的$\widehat{CD}$上，
要使四邊形ABCD的面積最大，則點(diǎn)C在邊BE上，
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，作DM⊥BC于點(diǎn)M，
在Rt△ADH中，∠DAH=60°，AD=4，
∴AH=2，DH=2$\sqrt{3}$，
∴BH=AB-AH=4，
∵四邊新DHBM是矩形，
∴BM=DH=2$\sqrt{3}$，DM=BH=4，
在Rt△DMC中，∠DCM=60°，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=BM+CM=2$\sqrt{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×4=$\frac{38\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．