Question

2．設函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1（k為實數(shù)）
（1）寫出其中的兩個特殊的函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并求出它們的交點坐標；
（2）對任意的k，函數(shù)圖象都經(jīng)過定點，直接寫出所有定點的坐標．

Answer 1

分析 （1）令k=0或1，分別得到兩個特殊函數(shù)，把解析式聯(lián)立方程，解方程即可求得交點坐標；
（2）根據(jù)題意得到kx²+（2k+1）x+1-y=0恒成立，由此列出關于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點坐標．

解答 解：（1）如兩個函數(shù)為y=x+1，y=x²+3x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}+3x+1}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$
∴交點為（-2，-1），（0，1）；
（2）依題意得kx²+（2k+1）x+1-y=0恒成立，即k（x²+2x）+x-y+1=0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$．
所以該拋物線必過定點（0，1）、（-2，-1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點的求法以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握二次函數(shù)與二元二次方組的關系和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．