Question

【題目】如圖 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，點 D、E 分別在邊 AB、AC 上，AD=AE，連接DC，點 M、P、N 分別為 DE、DC、BC 的中點,

(1)觀察猜想：如圖 1 中，△PMN 是 三角形；

(2)探究證明：把△ADE 繞點 A 逆時針方向旋轉到圖 2 的位置，連接 MN，BD， CE．判斷△PMN 的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸：將△ADE 繞點 A 在平面內自由旋轉，若 AD=4，AB=10，請求△PMN 面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)等腰直角三角形；(2)見解析；(3)≤S△PMN≤.

【解析】

（1）由AB=AC，AD=AE可得BD=CE，由點 M、P、N 分別為 DE、DC、BC的中點可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°，

進而可求出∠MPN=90°，即可證明△PMN是等腰直角三角形；（2）根據SAS可證明△ABD≌△ACE即可證明BD=CE，∠ABD=∠ACE，由點 M、P、N 分別為 DE、DC、BC的中點可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，進而可證明∠PMN=90°，即可證明△PMN是等腰直角三角形；（3）由△PMN是等腰直角三角形可得S△PMN=BD2，根據三角形的三邊關系即可得出△PMN 面積的取值范圍．

（1）∵AB=AC，AD=AE

∴BD=CE

∵點 M、P、N 分別為 DE、DC、BC 的中點

∴MP=EC，NP=BD，MP∥AC，NP∥AB

∴MP=NP

∴△PMN 是等腰三角形

∵∠A=90°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=45°

∵MP∥AC，NP∥AB

∴∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°

∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=45°+∠ACB﹣∠ACB=90°﹣∠ACD

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+90°﹣∠ACD=90°

∴△PMN 是等腰直角三角形

（2）∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAD=∠CAE

∵AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE

∵點 M、P、N 分別為 DE、DC、BC 的中點

∴MP=EC，NP=BD，MP∥EC，NP∥DB

∴MP=NP

∴△PMN 是等腰三角形

∵∠A=90°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=45°

∵MP∥AC，NP∥AB

∴∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC

∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACB﹣∠ACD=∠DBC+45°﹣∠ACD

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠DBC+45°﹣∠ACD+∠ACD+∠AC E=∠DBC+45°+∠ABD=∠ABC+45°=90°

∴△PMN 是等腰直角三角形

（3）∵△PMN 是等腰直角三角形

∴S△PMN=PN2=×（BD）2=BD2．

∵將△ADE 繞點 A 在平面內自由旋轉，

∴當點 D 在 AB 上時，BD 最短，此時 BD=AB﹣AD=6

當點 D 在 BA 的延長線上時，BD 最長，此時 BD=AB+AD=14

∴≤S△PMN≤.