Question

18．已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．
（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）若△FCD的面積為7.5，BC=10，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）先由線段垂直平分線的性質(zhì)證明CE=BE，從而得到∠DCF=∠CBA，由AD=AC可知∠CDF=∠BCA，從而得到△ABC∽△FCD；
（2）由相似三角形的面積等于相似比的平方可求得△ABC的面積為30，從而可求得AH=6，過A作AH⊥CB于H．由等腰三角形的性質(zhì)可知HC=DH=$\frac{1}{4}$BC，然后證明△BDE∽△BHA，利用相似三角形的性質(zhì)可求得DE的長．

解答 （1）證明：∵D是BC邊上的中點，DE⊥BC
∴CE=BE
∴∠DCF=∠CBA．
∵AC=AD，
∴∠CDF=∠BCA．
∴△ABC∽△FCD．
（2）解：過A作AH⊥CB于H．

∵AC=AD，AH⊥CD，
∴CH=DH=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}BC$=2.5．
∵△ABC∽△FCD，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△FCD}}=（\frac{BC}{CD}）^{2}=4$．
∴S_△ABC=4S_△FCD=30．
∴AH=$\frac{2{S}_{△ABC}}{BC}$=6．
∵AH⊥CB，ED⊥CB
∴AH∥ED
∴$\frac{DE}{AH}=\frac{BD}{BH}$．
∴DE=$\frac{AH•BD}{BH}$=$\frac{6×5}{5+2.5}$=4．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、利用相似三角形的性質(zhì)求得△ABC的面積是解題的關(guān)鍵．