Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，線段AB上一動點D，以1cm/s的速度從點A出發(fā)向終點B運動．過點D作DE⊥AB，交折線AC-CB于點E，以DE為一邊，在DE左側(cè)作正方形DEFG．設(shè)運動時間為x（s）（0＜x＜4）．正方形DEFG與△ABC重疊部分面積為y（cm²）．

（1）當x=$\frac{8}{3}$s時，點F在AC上；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)正方形DEFG的中心為點O，直接寫出運動過程中，直線BO平分△ABC面積時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當點F在AB上時，易證AG=GE=DG=DB=$\frac{4}{3}$，由此求出AD的長即可解決問題；
（2）分三種情形討論：①如圖2中，當0＜x≤2時，重疊部分是△ADE，②如圖3中，當2＜x≤$\frac{8}{3}$時，重疊部分是五邊形MNEDG．③當$\frac{8}{3}$＜x＜4時，重疊部分是正方形DEFG，分別求解即可解決問題；
（3）如圖5中，當2≤x＜4時，延長BO交AC于M．只要證明CM=AM即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，當點F在AB上時，易證AG=GE=DG=DB=$\frac{4}{3}$，

∴運動時間x=$\frac{AD}{1}$=$\frac{8}{3}$，
故答案為$\frac{8}{3}$．

（2）①如圖2中，當0＜x≤2時，重疊部分是△ADE，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠AED=45°，
∴AD=DE=x，
∴y=S_△ADE=$\frac{1}{2}$x²，
②如圖3中，當2＜x≤$\frac{8}{3}$時，重疊部分是五邊形MNEDG．

易知FG=GD=DE=DB=4-x，MG=AG=x-（4-x）=2x-4，
∴FM=FG-MG=（4-x）-（2x-4）=8-3x=FN，
∴y=S_{正方形DEFG}-S_△FMN=（4-x）²-$\frac{1}{2}$（8-3x）²=-$\frac{7}{2}$x²+16x-16，
③當$\frac{8}{3}$＜x＜4時，重疊部分是正方形DEFG，

y=（4-x）²=x²-8x+16．
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0＜x≤2）}\\{-\frac{7}{2}{x}^{2}+16x-16}&{（2＜x≤\frac{8}{3}）}\\{{x}^{2}-8x+16}&{（\frac{8}{3}＜x＜4）}\end{array}\right.$

（3）如圖5中，當2≤x＜4時，延長BO交AC于M．

∵OE=OG，EG∥AC，
∴$\frac{OE}{CM}$=$\frac{BO}{BM}$=$\frac{OG}{AM}$，
∴CM=AM，
∴直線OB平分△ABC的面積．
∴當2≤x＜4時，直線OB平分△ABC的面積．

點評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．