Question

14．已知：在平面直角坐標系中，點A、B坐標分別為A（-4，0）、B（2，3），AB與y軸相交于點C，點D、E分別在x、y軸上，且S_△BCD=4，∠CEA=∠CBE．求：
（1）點D的坐標；
（2）點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥AB垂足為H，設點D（m，O），由△COA∽△DHA得$\frac{CO}{DH}=\frac{AC}{AD}$求出DH=$\frac{（4+m）\sqrt{5}}{5}$，根據(jù)三角形面積公式列出方程解方程即可．
（2）證明△ACE∽△AEB得$\frac{AC}{AE}=\frac{AE}{AB}$即AE²=AC•AB，求出AE，再求出OE即可解決，注意有兩種情形．

解答 解：（1）如圖所示，作DH⊥AB垂足為H，設點D（m，O），
∵∠CAO=∠DAH，∠COA=∠DHA=90°，
∴△COA∽△DHA，
∴$\frac{CO}{DH}=\frac{AC}{AD}$，
∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CO=2，AD=4+m
∴DH=|$\frac{（4+m）\sqrt{5}}{5}$|，
∵BC=$\sqrt{{1}^{1}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•|$\frac{（4+m）\sqrt{5}}{5}$|=4，
∴m=4或-12
∴點D坐標為（4，0）或（-12，0）．
（2）設點E（0，n）
∵∠CAE=∠EAB，∠CEA=∠ABE，
∴△ACE∽△AEB，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AE}{AB}$，
∴AE²=AC•AB，
∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴AE²=2$\sqrt{5}$×3$\sqrt{5}$=30，
∵AE＞0，
∴AE=$\sqrt{30}$，
當點E₁在y軸的負半軸上時，OE₁=$\sqrt{30-16}$=$\sqrt{14}$，
∴點E₁坐標為（0，-$\sqrt{14}$），
當E₂在y軸的正半軸上時，OE₂=$\sqrt{30-16}$=$\sqrt{14}$，
∴點E₂坐標為（0，$\sqrt{14}$）．

點評 本題考查坐標與圖形的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是求面積時必須作出高DH，第二個問題關鍵是利用相似三角形列出比例式求出線段AE的長，屬于中考常考題型．