Question

關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x+k-1的圖象與x軸有交點(diǎn)，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x+k-1與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均是負(fù)整數(shù)時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x+k-1的圖象向下平移4個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=

1

2

x+b（b＜3）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）綜合根的判別式及k的要求，求出k的取值；
（2）對(duì)k的取值進(jìn)行一一驗(yàn)證，求出符合要求的k值，再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律寫(xiě)出其平移后的解析式；
（3）求出新拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分別求出直線y=

1

2

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B時(shí)的b的取值，進(jìn)而求出其取值范圍．

解答：解：（1）由題意得，△=4-4（k-1）≥0．
∴k≤2．
∵k為正整數(shù)，
∴k=1，2；

（2）設(shè)方程x²+2x+k-1=0的兩根為x₁，x₂，則
x₁+x₂=-2，x₁•x₂=k-1．
當(dāng)k=1時(shí)，圖象y=x²+2x+k-1與x軸有一個(gè)交點(diǎn)為（0，0），不合題意；
當(dāng)k=2時(shí)，圖象y=x²+2x+k-1與x軸有一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0），符合題意；
綜上所述，k=2符合題意．
當(dāng)k=2時(shí)，二次函數(shù)為y=x²+2x+1，把它的圖象向下平移4個(gè)單位得到的圖象的解析式為：y=x²+2x-3；

（3）設(shè)二次函數(shù)y=x²+2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，則A（-3，0），B（1，0）．
依題意翻折后的圖象如圖所示．
當(dāng)直線y=

1

2

x+b經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可得b=

3

2

；
當(dāng)直線y=

1

2

x+b經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可得b=-

1

2

．
由圖象可知，符合題意的b（b＜3）的取值范圍為：-

1

2

＜b＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)及函數(shù)圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數(shù)的結(jié)合等問(wèn)題．不錯(cuò)的題目，難度不大，綜合性強(qiáng)．