Question

5．如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+（1-m）x-m²+12交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)C位于第二象限，連結(jié)AB，AC，BC．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積等于△ABC的面積？如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將△ABC沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t＜1）時(shí)，平移后△ABC與△ABO重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）把B坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式求出m的值，確定出拋物線(xiàn)解析式即可；
（2）由拋物線(xiàn)解析式確定出A，B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AC，BC，AB的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理確定出三角形ABC為直角三角形，由三角形PAB與三角形ABC面積相等求出AP的長(zhǎng)，確定出P坐標(biāo)即可；
（3）如圖所示，畫(huà)出平移后的三角形為△A′B′C′，A′C′與AB交于M點(diǎn)，A′B′與y軸交于N點(diǎn)，根據(jù)A′坐標(biāo)及A′C′∥AC，得到兩直線(xiàn)斜率相等，表示出直線(xiàn)A′C′解析式，與直線(xiàn)AB聯(lián)立求出M坐標(biāo)，進(jìn)而表示出三角形AA′M面積，再求出三角形A′ON面積，由三角形AOB面積減去三角形AA′M，再減去三角形A′ON面積，求出重疊部分面積即可．

解答 解：（1）把B（0，3）代入解析式得：-m²+12=3，
解得：m=3或m=-3，
∵1-m＜0，
∴m=3，
則拋物線(xiàn)解析式為y=-x²-2x+3；
（2）由拋物線(xiàn)解析式可得A（-3，0），C（-1，4），B（0，3），
∴AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{2}$，AB=3$\sqrt{2}$，
∴AC²=BC²+AB²，
∴∠ABC=90°，
∴S_△PAB=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×BC=$\frac{1}{2}$×AP×OB，
解得：AP=$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$÷3=2，
則P（-1，0）或P（-5，0）；
（3）如圖所示，

記平移后的三角形為△A′B′C′，A′C′與AB交于M點(diǎn)，A′B′與y軸交于N點(diǎn)，
∵A′（-3+t，0），A′C′∥AC，k_AC=2，
∴直線(xiàn)A′C′解析式為y=2x+6-2t，
∵直線(xiàn)AB解析式為y=x+3，
∴M（-3+2t，2t），
∴S_△AA′M=$\frac{1}{2}$×AA′×y_M=$\frac{1}{2}$t×2t=t²，
∵A′B′∥AB，
∴S_{△OA′N(xiāo)}=$\frac{1}{2}$OA′²=$\frac{1}{2}$（3-t）²，
∴S_重疊=S_△ABO-S_{△A′N(xiāo)O}-S_△AA′M=-$\frac{3}{2}$t²+3t．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定拋物線(xiàn)解析式，勾股定理的逆定理，平移的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，以及三角形面積求法，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．