Question

13．如圖，長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A、C、O都在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，4），E為BC邊上一點(diǎn)，CE=6．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)和△ABE的周長(zhǎng)；
（2）若P是OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿射線OA運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．
①當(dāng)t為何值時(shí)，△PAE的面積等于△PCE的面積的一半；
②當(dāng)t為何值時(shí)，△PAE為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)長(zhǎng)方形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，4），求得CB=9，CO=4=AB，即可得出CE=6，再根據(jù)勾股定理求得AE的長(zhǎng)，即可得到△ABE的周長(zhǎng)；
（2）①分兩種情況討論：P在OA之間時(shí)，P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別根據(jù)△PAE的面積等于△PCE的面積的一半，列出關(guān)于t的方程，求得t的值即可；
②分三種情況討論：當(dāng)∠PEA=90°時(shí)，當(dāng)∠PAE=90°時(shí)，∠EPA=90°時(shí)，分別求得t的值并判斷是否符合題意即可．

解答 解：（1）如圖，∵長(zhǎng)方形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，4），
∴CB=9，CO=4=AB，
又∵CE=6，
∴E（6，4），BE=3，
∵∠B=90°，
∴Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5，
∴△ABE的周長(zhǎng)：3+4+5=12；

（2）①∵OP=1×t=t，
∴AP=9-t，
∵△PAE的面積等于△PCE的面積的一半，
∴當(dāng)P在OA之間時(shí)，
根據(jù)$\frac{1}{2}$×AP×AB=$\frac{1}{2}$×CE×CO×$\frac{1}{2}$，可得
（9-t）×4=6×4×$\frac{1}{2}$，
解得t=6；
當(dāng)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，
根據(jù)$\frac{1}{2}$×AP×AB=$\frac{1}{2}$×CE×CO×$\frac{1}{2}$，可得
（t-9）×4=6×4×$\frac{1}{2}$，
解得t=12；
綜上所述，當(dāng)t為6或12秒時(shí)，△PAE的面積等于△PCE的面積的一半；
  
②如圖，當(dāng)∠PEA=90°時(shí)，△PAE為直角三角形，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，則
CF=OP=t，EF=6-t，BF=6-t+3=9-t=AP，
由勾股定理可得，PE²+AE²=AP²，
即（PF²+EF²）+AE²=AP²，
∴4²+（6-t）²+5²=（9-t）²，
解得t=$\frac{2}{3}$；
當(dāng)∠EPA=90°時(shí)，△PAE為直角三角形，EP⊥OA，
此時(shí)，PE=OC=4，
∴Rt△APE中，AP=$\sqrt{A{E}^{2}-P{E}^{2}}$=3，
∴OP=9-3=6，
∴t=6；
∵EA與AP不垂直，
∴∠PAE不可能為直角；
綜上所述，當(dāng)t為6或$\frac{2}{3}$秒時(shí)，△PAE為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了四邊形的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理以及矩形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．