Question

3．如圖，A點的坐標是（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，C在x軸上運動，在坐標平面內(nèi)作點D，使AD=DC，∠ADC=120°，連結(jié)OD，則OD的長的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先判定△ABO∽△ADC，得出$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AD}{AC}$，再根據(jù)∠BAD=∠OAC，得出△ACO∽△ADB，進而得到∠ABD=∠AOC=90°，得到當OD⊥BE時，OD最小，最后過O作OF⊥BD于F，根據(jù)∠OBF=30°，求得OF=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，即OD最小值為$\sqrt{3}$；作B關(guān)于y軸的對稱點B'，則同理可得OD最小值為$\sqrt{3}$．

解答 解：如圖，作直線BD，由∠DAC=∠DCA=∠BAO=∠BOA=30°，可得△ABO∽△ADC，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AO}{AC}$，即$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AD}{AC}$，
又∵∠BAD=∠OAC，
∴△ACO∽△ADB，
∴∠ABD=∠AOC=90°，
∵當OD⊥BE時，OD最小，
過O作OF⊥BD于F，則△BOF為Rt△，
∵A點的坐標是（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，
∴易得OB=2$\sqrt{3}$，
∵∠ABO=120°，∠ABD=90°，
∴∠OBF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
即OD最小值為$\sqrt{3}$；

如圖，作B關(guān)于y軸的對稱點B'，作直線DB'，則同理可得：△ACO∽△ADB'，
∴∠AB'D=∠AOC=90°，
∴當OD⊥B'E時，OD最小，
過O作OF'⊥B'D于F'，則△B'OF'為Rt△，
∵A點的坐標是（0，6），AB'=B'O，∠AB'O=120°，
∴易得OB'=2$\sqrt{3}$，
∵∠AB'O=120°，∠AB'D=90°，
∴∠OB'F'=30°，
∴OF'=$\frac{1}{2}$OB'=$\sqrt{3}$，
即OD最小值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，利用垂線段最短進行判斷分析．解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．