Question

15．設(shè)方程：x²+3x-5=0的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，不解方程，求下列代數(shù)式的值：
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；                                 
（2）${x_1}^2+2{x_1}-{x_2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-3，x₁x₂=-5，再將原式變形為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整體代入的方法計算；
（2）先利用一元二次方程解的定義得到x₁²=-3x₁+5，則原式變形為-（x₁+x₂）+5，然后利用整體代入的方法計算．

解答 解：（1）∵方程：x²+3x-5=0的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-5，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-3}{-5}$=$\frac{3}{5}$；

（2）∵x₁為方程x²+3x-5=0的根，
∴x₁²+3x₁-5=0，
∴x₁²=-3x₁+5，
∴${x_1}^2+2{x_1}-{x_2}$=-3x₁+5+2x₁-x₂=-（x₁+x₂）+5=3+5=8．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程解的定義．