Question

在直角坐標(biāo)平面中，已知點A（10，0）和點D（8，0）．點C、B在以O(shè)A為直徑的⊙M上，且四邊形OCBD為平行四邊形．

（1）求C點坐標(biāo)；

（2）求過O、C、B三點的拋物線解析式

（3）判斷：（2）中拋物線的頂點與⊙M的位置關(guān)系，說明理由．

 

Answer 1

（1）點C的坐標(biāo)為（1，3）；（2）y=-x2+x，（3）拋物線的頂點在⊙M外．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）作MN⊥BC于點N，連接MC，利用垂徑定理求得線段MN后即可確定點C的坐標(biāo)；

（2）用同樣的方法確定點D的坐標(biāo)后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，然后配方后即可確定拋物線的頂點坐標(biāo)及對稱軸；

（3）根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)和點M的坐標(biāo)確定兩點之間的距離，然后根據(jù)半徑與兩點之間的線段的大小關(guān)系即可確定頂點與圓的位置關(guān)系．

試題解析：（1）如圖，作MN⊥BC于點N，連接MC，

∵A（10，0）和點D（8，0）．

∴點M（5，0），

∵點C、B在以O(shè)A為直徑的⊙M上，且四邊形OCBD為平行四邊形，

∴⊙M的半徑為5，BC=OD=8，

∴在Rt△MNC中，MC=5，NC=BC=4，

∴MN=3，

∴點C的坐標(biāo)為（1，3）；

（2）∵點C的坐標(biāo)為（1，3），

∴點B的坐標(biāo)為（9，3），

設(shè)過O、C、B三點的拋物線解析式為y=ax2+bx，

∴

解得：

∴解析式為：y=-x2+x，

∴y=-x2+x =-（x-5）2+，

∴對稱軸為x=5，頂點坐標(biāo)為（5，）；

（3）∵頂點坐標(biāo)為（5，），點M的坐標(biāo)為（5，0），

∴頂點到點M的距離為，

∵＞5

∴拋物線的頂點在⊙M外．

考點：二次函數(shù)綜合題．