Question

2．如圖，AB為圓O的直徑，在圓O上取異于A、B的一點C，并連結(jié)BC、AC．過點A作圓O的切線，交直線BC于點D，作∠ADC的角平分線，交AB于點P．若AB=10，BC=6，則AP的長度為（

• A． 4
• B． 5
• C． $\frac{40}{9}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 作PH⊥BC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用勾股定理可計算出AC=8，再由切線性質(zhì)得PA⊥AD，則利用角平分線的性質(zhì)定理得到AP=PH，設(shè)AP=x，則PH=x，PB=10-x，然后證明△BPH∽△BAC，利用相似比得x：8=（10-x）：10，再根據(jù)比例性質(zhì)求出x即可．

解答 解：作PH⊥BC，如圖，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵AD為切線，
∴PA⊥AD，
∵DP平分∠ADB，PH⊥DB，
∴AP=PH，
設(shè)AP=x，則PH=x，PB=10-x，
∵PH∥AC，
∴△BPH∽△BAC，
∴PH：AC=PB：AB，即x：8=（10-x）：10，解得x=$\frac{40}{9}$，
即AP的長度為$\frac{40}{9}$．
故選C．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線性質(zhì)作PH⊥BC得到PH=AP，同時構(gòu)建△BPH∽△BAC．