Question

9．如圖，已知：拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）交x軸于A（-1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線解析式及點D坐標(biāo)；
（2）若點E在x軸上，且以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；
（3）若點P在y軸右側(cè)，過點P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應(yīng)點為Q′．是否存在點P，使Q′恰好落在x軸上？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，令y=2可得出點D的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)AE為一邊時，AE∥PD，②當(dāng)AE為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點P坐標(biāo)．
（3）結(jié)合圖形可判斷出點P在直線CD下方，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），當(dāng)P點在y軸右側(cè)時，運用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過A（-1，0），B（4，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
當(dāng)y=2時，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍去），
即點D坐標(biāo)為（3，2）．

（2）A，E兩點都在x軸上，AE有兩種可能：
①當(dāng)AE為一邊時，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②當(dāng)AE為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，
可知P點、D點到直線AE（即x軸）的距離相等，
∴P點的縱坐標(biāo)為-2，
代入拋物線的解析式：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P點的坐標(biāo)為（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2），（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）
綜上所述：P₁（0，2）；P₂（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）；P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）．

（3）存在滿足條件的點P，顯然點P在直線CD下方，設(shè)直線PQ交x軸于F，點P的坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），

當(dāng)P點在y軸右側(cè)時（如圖1），CQ=a，
PQ=2-（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，$\frac{Q′C}{CO}$=$\frac{Q′P}{FQ′}$，$\frac{a}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a}{Q′F}$，
∴Q′F=a-3，
∴OQ′=OF-Q′F=a-（a-3）=3，CQ=CQ′=$\sqrt{C{O}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
此時a=$\sqrt{13}$，點P的坐標(biāo)為（$\sqrt{13}$，$\frac{-9+3\sqrt{13}}{2}$），

點評 此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合考查了翻折變換、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此類題目要求我們能將所學(xué)的知識融會貫通，屬于中考常涉及的題目，同學(xué)們一定要留意．