Question

14．在四邊形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°．
（1）如圖1，請問點(diǎn)C，D在以AB為直徑的圓上嗎？為什么？
（2）如圖2，連接CD，若AD=BD．
①圖中等于45°的角有4個(gè)．
②請?zhí)骄浚篈C，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系．
小穎同學(xué)探究此問題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處．（如圖3）然后通過構(gòu)造三角形的方法研究這個(gè)問題，請你完成這個(gè)探究．

③若AC=8，AB=10，求CD長．
（3）如圖4，C，D是以AB為直徑的圓上兩點(diǎn)，C，D在直徑同側(cè)，設(shè)AC=a，BC=b，當(dāng)AD=BD時(shí)，直接寫出CD長（用含a，b的式子表示）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OD、OC．只要證明OD=OC=OA=OB，推出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，推出點(diǎn)C，D在以AB為直徑的圓上；
（2）①圖中有4個(gè)45°角．利用圓周角定理即可證明；
②如圖3中，結(jié)論：AC+BC=$\sqrt{2}$DC．只要證明△DEC是等腰直角三角形即可解決問題；
③利用勾股定理求出BC，利用②中結(jié)論即可解決問題；
（3）如圖4中，作C、D關(guān)于直徑AB的對稱點(diǎn)E、F．連接DE，DF，EF，BE，AE．易知AC=AE=a，BC=BE=b，CD=EF，AB=DF=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，由②可知，EA+EB=$\sqrt{2}$DE，可得DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），根據(jù)CD=EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$計(jì)算即可；

解答 解：（1）如圖1中，連接OD、OC．

∵∠ADB=∠ACB=90°，OA=OB，
∴OD=OC=OA=OB，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴點(diǎn)C，D在以AB為直徑的圓上．

（2）①如圖2中，由（1）可知，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠DCB=∠DAB=45°，∠DCA=∠DBA=45°，
∴圖中有4個(gè)45°角，
故答案為4．


②如圖3中，結(jié)論：AC+BC=$\sqrt{2}$DC．

理由：將△BCD繞點(diǎn)D，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，
∵∠DAC+∠DBC=180°，∠EAD=∠DBC，
∴∠DAC+∠EAD=180°，
∴E、A、C共線，
∵∠E=∠DCB=45°=∠ACE，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴EC=$\sqrt{2}$CD，
∵EC=AC+AE=AC+BC，
∴AC+BC=$\sqrt{2}$CD．

③如圖3中，在Rt△ACB中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵EC=AC+BC=14，
∵EC=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=7$\sqrt{2}$．

（3）如圖4中，作C、D關(guān)于直徑AB的對稱點(diǎn)E、F．連接DE，DF，EF，BE，AE．

易知AC=AE=a，BC=BE=b，CD=EF，AB=DF=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
由②可知，EA+EB=$\sqrt{2}$DE，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
∴CD=EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-\frac{（a+b）^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）．

點(diǎn)評 本題考查幾何變換綜合題、圓、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用新的結(jié)論解決問題，屬于中考壓軸題．