Question

8．已知：如圖1，數(shù)軸上有兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)C，D分別從原點(diǎn)O與點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s、3cm/s的速度沿BA方向同時向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示．
（1）若點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，點(diǎn)B表示的數(shù)為9．
①當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2秒時，點(diǎn)C表示的數(shù)為-2，點(diǎn)D表示的數(shù)為3；
②點(diǎn)C、D運(yùn)動多長時間，C、D兩點(diǎn)運(yùn)動到原點(diǎn)的距離相等？
（2）如圖2，點(diǎn)C在線段OA上，點(diǎn)D在線段OB上運(yùn)動，在點(diǎn)C、D運(yùn)動的過程中，滿足OD=3AC．
①探究OA與AB滿足的數(shù)量關(guān)系：OA=$\frac{1}{4}$AB（直接寫出結(jié)果）；
②利用上述結(jié)論解決問題：若N是直線AB上一點(diǎn)，且AN-BN=ON，求$\frac{ON}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）①計算出OC及BD的長，進(jìn)而可得出答案；
②設(shè)點(diǎn)C、D運(yùn)動xs，C、D兩點(diǎn)運(yùn)動到原點(diǎn)的距離相等，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求得；
（2）①根據(jù)題意得出3（OA-x）=OB-3x，求得OA和OB的關(guān)系，即可求得結(jié)論；
②分兩種情況分別討論求得即可．

解答 （1）①當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2s時，OC=2cm，BD=6cm，
∴OD=OB-BD=9-6=3cm，
∴C表示的數(shù)為：-2，D表示的數(shù)為：3，
故答案為-2，3；                  
②設(shè)點(diǎn)C、D運(yùn)動xs，C、D兩點(diǎn)運(yùn)動到原點(diǎn)的距離相等，
根據(jù)題意：x=9-3x或x=3x-9，
解得x=$\frac{9}{4}$或$\frac{9}{2}$，
∴點(diǎn)C、D運(yùn)動$\frac{9}{4}$s或$\frac{9}{2}$s，C、D兩點(diǎn)運(yùn)動到原點(diǎn)的距離相等；        
（2）①∵點(diǎn)C在線段OA上，點(diǎn)D在線段OB上運(yùn)動，在點(diǎn)C、D運(yùn)動的過程中，滿足OD=3AC．
∴3（OA-x）=OB-3x，
∴3OA=OB，
∴OA=$\frac{1}{4}$AB，
故答案為$\frac{1}{4}$；      
②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時，如下圖，

∵AN-BN=ON，又∵AN-AO=ON
∴BN=AO=$\frac{1}{4}$AB，
∴ON=$\frac{1}{2}$AB，即$\frac{ON}{AB}$=$\frac{1}{2}$；
 當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上時，如下圖

∵AN-BN=ON，
又∵AN-BN=AB，
∴ON=AB，即$\frac{ON}{AB}$=1，
綜上所述，$\frac{ON}{AB}$=$\frac{1}{2}$或1．

點(diǎn)評 本題考查求線段的長短的知識及一元一次方程的應(yīng)用，有一定難度，關(guān)鍵是細(xì)心閱讀題目，理清題意后再解答．