Question

11．如圖，⊙O的半徑OA⊥OC，點D在$\widehat{AC}$上，且$\widehat{AD}$=2$\widehat{CD}$，
OA=4．
（1）∠COD=30°；
（2）求弦AD的長；
（3）P是半徑OC上一動點，連結(jié)AP、PD，請求出AP+PD的最小值，并說明理由．
（解答上面各題時，請按題意，自行補足圖形）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠AOC=90°，由已知條件得到∠AOD=2∠COD，即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)OD、AD，如圖1所示：由（1）知∠AOD=2∠COD=2×30°=60°，推出△AOD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到；
（3）過點D作DE⊥OC，交⊙O于點E，連結(jié)AE，交OC于點P，則此時，AP+PD的值最小，延長AO交⊙O于點B，連結(jié)BE，得到AP+PD最小值=AP+PE=AE，根據(jù)圓周角定理得到∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OAE=∠AED=30°，由于AB為直徑，得到△ABE為直角三角形，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵$\widehat{AD}$=2$\widehat{CD}$，
∴∠AOD=2∠COD，
∴∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOC=30°，
故答案為：30；

（2）連結(jié)OD、AD，如圖1所示：
由（1）知∠AOD=2∠COD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD為等邊三角形，
∴AD=OA=4；

（3）過點D作DE⊥OC，交⊙O于點E，連結(jié)AE，交OC于點P，則此時，AP+PD的值最小，
延長AO交⊙O于點B，連結(jié)BE，如圖2所示：
∵根據(jù)圓的對稱性，點E是點D關(guān)于OC的對稱點，
OC是DE的垂直平分線，
即PD=PE，
∴AP+PD最小值=AP+PE=AE，
∵∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD=30°，
又∵OA⊥OC，DE⊥OC，
∴OA∥DE，
∴∠OAE=∠AED=30°，
∵AB為直徑，
∴△ABE為直角三角形，由$\frac{AE}{AB}$=cos∠BAE，AE=AB•cos30°=2×4×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$4\sqrt{3}$，
即AP+PD=$4\sqrt{3}$，

點評 本題考查了圓心角，弧、弦的關(guān)系，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．