Question

5．已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{13}$
• B． 1+3$\sqrt{5}$
• C． 3+$\sqrt{37}$
• D． $\sqrt{85}$

Answer 1

分析 作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN=BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′=BN；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此時(shí)AM+BN=AB′．

解答 解：如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，
連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，
則MN∥BB′且MN=BB′，
于是MNBB′為平行四邊形，故MB′=BN．
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．


∵AB=10千米，BC=1+3+4=8千米，
∴在RT△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
在RT△AB′C中，B′C=1+3=4千米，
∴AB′=${\sqrt{A{C}^{2}+B′C}}^{2}$=2$\sqrt{13}$千米；
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱---最短路徑問題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化．