Question

15．如圖，拋物線y=ax²+c經過A（1，0），B（0，-2）兩點．連結AB，過點A作AC⊥AB，交拋物線于點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求點C的坐標；
（3）將拋物線沿著過A點且垂直于x軸的直線對折，再向上平移到某個位置后此拋物線與直線AB只有一個交點，請直接寫出此交點的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線y=ax2+c經過A（1，0），B（0，-2）兩點列出a和c的二元一次方程組，求出a和c的值；
（2）首先根據三角形相似的性質求出點D的坐標，設直線AC的解析式是y=kx+b，待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進而求出點C坐標；
（3）先求出對折后拋物線的解析式，然后設出向上平移后拋物線的解析式，根據拋物線與直線AB只有一個交點求出k的值，進而求出此時的拋物線解析式，即可求出交點坐標．

解答 解：（1）因為拋物線y=ax²+c經過A（1，0），B（0，-2）兩點，
則有：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所求的拋物線的解析式是：y=2x²-2；

（2）∵AC⊥AB，又根據題意可知：OA⊥BD，
∴Rt△AOD∽Rt△BOA，
∴$\frac{AO}{BO}=\frac{OD}{AO}$，
∴OD=$\frac{A{O}^{2}}{BO}$，
又根據A（1，0），B（0，-2），則有：AO=1，BO=2，
∴OD=$\frac{1}{2}$，
∴D（0，$\frac{1}{2}$），
設直線AC的解析式是y=kx+b，則有
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴所求的解析式是：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
由直線AC與拋物線y=2x²-2相交，則有：
-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$=2x²-2，
解得：x₁=-$\frac{5}{4}$，x₂=1，
當x=-$\frac{5}{4}$時，y=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{5}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{8}$，
∴點C的坐標是（-$\frac{5}{4}$，$\frac{9}{8}$）；

（3）拋物線沿著過A點且垂直于x軸的直線對折后與x軸的交點坐標為（1，0）和（3，0），
此時拋物線解析式為y=2（x-2）²-2，
向上平移此時解析式為y=2（x-2）²+k，
直線AB的解析式為y=2x-2，
則2（x-2）²+k=2x-2，
△=100-80-8k=0，
解得k=$\frac{5}{2}$，
即2（x-2）²+$\frac{5}{2}$=2x-2，
解得x=$\frac{5}{2}$，
所求交點的坐標是（$\frac{5}{2}$，3）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質、直線與拋物線的交點問題以及二次函數(shù)圖象的平移等知識，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質以及翻折變換以及平移的知識，此題有一定的難度．