Question

6．在平面直角坐標系中，直角梯形AOBC的位置如圖所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分別在線段AC、線段BC上運動，當(dāng)△MON的面積達到最大時，存在一種使得△MON周長最小的情況，則此時點M的坐標為（　　）

• A． （0，4）
• B． （3，4）
• C． （$\frac{5}{2}$，4）
• D． （$\sqrt{3}$，3）

Answer 1

分析 過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，因為QN取得最大值是OB時，△MON的面積最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB，設(shè)O關(guān)于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，此時AM=3，從而求得M的坐標（3，4）．

解答 解：如圖，過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴當(dāng)點N與點B重合，QN取得最大值OB時，△MON的面積最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB，
設(shè)O關(guān)于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，
此時△MON的面積最大，周長最短，
∵$\frac{AD}{OD}$=$\frac{AM}{OM}$，即$\frac{4}{8}$=$\frac{AM}{6}$，
∴AM=3，
∴M（3，4）．
故選B．

點評 本題考查了直角梯形的性質(zhì)，坐標和圖形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．