Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與坐標軸交于A，B兩點，設P，Q分別為AB邊，OB邊上的動點，它們同時分別從點A，點O以每秒1個單位速度向終點B勻速移動，當一個點到達終點時另一個點也停止移動，設移動時間為t秒．
（1）請寫出點A，點B的坐標；
（2）試求△OPQ的面積S與移動時間t之間的函數關系式，當t為何值時，S有最大值？并求出S的最大值；
（3）試證明無論t為何值，△OPQ都不會是等邊三角形；
（4）將△OPQ沿直線PQ折疊，得到△O′PQ，問：△OPQ和O′PQ能否拼成一個三角形？若能，求出點O′的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；
（2）根據三角函數，可得PD的長，根據三角形的面積公式，可得函數解析式，根據二次函數的性質，可得答案；
（3）根據等邊三角形的性質，可得∠POQ=∠OPQ=60°，根據等腰三角形的性質，可得∠APO=120°，再根據鄰補角，可得∠QPB的度數，根據∠QPB與∠OPQ的關系，可得答案；
（4）根據軸對稱的性質，可得O點關于PQ的對稱點O′不在x軸上，根據四邊形的定義，可得答案．

解答 解：（1）當x=0時，y=3，即A（0.3），當y=0時，-$\frac{3}{4}$x+3=0，即B（4，0）；
（2）如圖1：作PD⊥x軸于D．，
OQ=t，AP=t，PB=5-t，
sin∠B=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
PD=PB•sin∠B=$\frac{3}{5}$（5-t），
S=$\frac{1}{2}$OQ•PD=$\frac{1}{2}$t（5-t）=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t，
當t=$\frac{5}{4}$時，s_最大=$\frac{25}{2}$；
（3）證明：∵OP=OQ=AP=PQ，∠POQ=∠OPQ=60°，
∴∠AOP=∠PAO=30°，
∴∠APO=120°，
∴∠BPQ=60°與∠OPQ=60°矛盾，
∴∠OPQ≠60°，即△OPQ都不會是等邊三角形；
（4）：△OPQ和O′PQ不能拼成一個三角形，理由如下：
如圖2，作PE⊥y軸于E點．，
∵AP=OQ＞PE，
∴PQ∥y軸，
∴O點關于PQ的對稱點O′不在x軸上，
∴O、Q、O′不在同一條直線上，
∴OPO′Q是四邊形，
△OPQ和O′PQ不能拼成一個三角形．

點評 本題考查了一次函數的綜合題，利用了自變量與函數值的對應關系，銳角三角函數的定義，三角形的面積公式，二次函數的性質，軸對稱的性質，四邊形的定義，利用反證法是解題關鍵．