Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直徑DF的延長(zhǎng)線上，∠D=∠G=30°
（1）求證：$\widehat{CF}$=$\widehat{BC}$．
（2）若CD=6，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠COF=∠COV=60°即可．
（2）首先證明GF=CF，再在RT△CFD中利用勾股定理即可解決．

解答 解：（1）如圖，連接OC、CF．
∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴BC弧=BD弧，∠OED=90°，
∴∠BOD=∠COB，
∵∠D=30°，
∴∠DOE=∠AOF=∠BOC=60°，
∴∠COF=60°，
∴∠COF=∠COB=60°，
∴$\widehat{CF}$=$\widehat{BC}$．
（2）∵OC=OF，∠COF=60°
∴△COF是等邊三角形，
∴∠OFC=60°，
∵∠G=30°，∠OFC=∠G+∠FCG，
∴∠FCG=30°，
∴∠G=∠FCG，
∴GF=CF，
∵DF是直徑，
∴∠FCD=90°，
∵∠D=30°，CD=6，DF=2CF，設(shè)CF=a，則DF=2a
∴a²+36=4a²，
∵a＞0，
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴GF=CF=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周角定理、勾股定理、垂徑定理等知識(shí)，利用垂徑定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊三角形，即問(wèn)題特殊化，屬于中考�？碱}型．