Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交BC于點D，且∠DAC=∠B．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當(dāng)BD=5，CD=4時，求AF的值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，繼而可判斷AC是⊙O的切線．

（2）根據(jù)（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，繼而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質(zhì)得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長．

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△BAC，

∴∠BAC=∠ADC=90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線．

（2）∵BD=5，CD=4，

∴BC=9，

∵△ADC∽△BAC（已證），

∴，即AC2=BC×CD=36，

解得：AC=6，

在Rt△ACD中，AD=，

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，

∴CA=CF=6，

∴DF=CA-CD=2，

在Rt△AFD中，AF=．

考點：1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質(zhì)．