Question

12．已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點(diǎn)D．
（1）如圖（1），當(dāng)直線l與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，若∠DAC=35°，求∠DAB的度數(shù)；
（2）如圖（2），當(dāng)直線l與⊙O相交于點(diǎn)E、F時(shí)，求證：∠DAE=∠BAF．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥l，加上AD⊥l，則AD∥OC，所以∠OCA=∠DAC=35°，由于∠OAC=∠OCA=35°，易得∠DAB=70°；
（2）連結(jié)BF，如圖2，先根據(jù)圓周角定理得到∠AFB=90°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠AED=∠ABF，然后利用等角的余角相等即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：連接OC，如圖1，
∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴AD∥OC，
∴∠OCA=∠DAC=35°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=35°，
∴∠DAB=∠DAC+∠OAC=35°+35°=70°；
（2）證明：連結(jié)BF，如圖2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∵AD⊥EF，
∴∠ADE=90°，
∵∠AED=∠ABF，
∴∠DAE=∠BAF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．