Question

2．如圖，拋物線y=-x²+6x交x軸正半軸于點A，頂點為M，對稱軸MB交x軸于點B．過點C（2，0）作射線CD交MB于點D（D在x軸上方），OE∥CD交MB于點E，EF∥x軸交CD于點F，作直線MF．
（1）求點A，M的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)BD為何值時，點F恰好落在該拋物線上？
（3）當(dāng)BD=1時
①求直線MF的解析式，并判斷點A是否落在該直線上．
②延長OE交FM于點G，取CF中點P，連結(jié)PG，△FPG，四邊形DEGP，四邊形OCDE的面積分別記為S₁，S₂，S₃，則S₁：S₂：S₃=3：4：8．

Answer 1

分析 （1）在拋物線解析式中令y=0，容易求得A點坐標(biāo)，再根據(jù)頂點式，可求得M點坐標(biāo)；
（2）由條件可證明四邊形OCFE為平行四邊形，可求得EF的點，可求得F點坐標(biāo)，可得出BE的長，再利用平行線的性質(zhì)可求得BD的長；
（3）①由條件可求得F點坐標(biāo)，可求得直線MF的解析式，把A點坐標(biāo)代入其解析式可判斷出A點在直線MF上；②由點的坐標(biāo)結(jié)合勾股定理求得OE、GE、CD、DM、MF的長，再結(jié)合面積公式可分別表示出S₁，S₂，S₃，可求得答案．

解答 解：
（1）令y=0，則-x²+6x=0，解得x=0或x=6，
∴A點坐標(biāo)為（6，0），
又∵y=-x²+6x=-（x-3）²+9，
∴M點坐標(biāo)為（3，9）；
（2）∵OE∥CF，OC∥EF，
∴四邊形OCFE為平行四邊形，且C（2，0），
∴EF=OC=2，
又B（3，0），
∴OB=3，BC=1，
∴F點的橫坐標(biāo)為5，
∵點F落在拋物線y=-x²+6x上，
∴F點的坐標(biāo)為（5，5），
∴BE=5，
∵OE∥CF，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BC}{OB}$，即$\frac{BD}{5}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=$\frac{5}{3}$；
（3）①當(dāng)BD=1時，由（2）可知BE=3BD=3，
∴F（5，3），
設(shè)直線MF解析式為y=kx+b，
把M、F兩點坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{9=3k+b}\\{3=5k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=18}\end{array}\right.$，
∴直線MF解析式為y=-3x+18，
∵當(dāng)x=6時，y=-3×6+18=0，
∴點A落在直線MF上；
②如圖所示，

∵E（3，3），
∴直線OE解析式為y=x，
聯(lián)立直線OE和直線MF解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-3x+18}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∴OG=$\sqrt{（\frac{9}{2}）^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，OE=CF=3$\sqrt{2}$，
∴EG=OG-OE=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$-3$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{CD}{OE}$=$\frac{1}{3}$，
∴CD=$\frac{1}{3}$OE=$\sqrt{2}$，
∵P為CF中點，
∴PF=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴DP=CF-CD-PF=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OG∥CF，
∴可設(shè)OG和CF之間的距離為h，
∴S_△FPG=$\frac{1}{2}$PF•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$h=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$h，
S_{四邊形DEGP}=$\frac{1}{2}$（EG+DP）h=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）h=$\sqrt{2}$h，
S_{四邊形OCDE}=$\frac{1}{2}$（OE+CD）h=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$）h=2$\sqrt{2}$h，
∴S₁，S₂，S₃=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$h：$\sqrt{2}$h：2$\sqrt{2}$h=3：4：8，
故答案為：3：4：8．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程、平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例、待定系數(shù)法、勾股定理等知識點．在（1）中注意拋物線頂點式的應(yīng)用，在（2）中求得F點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）①中，求得直線MF的解析式是解題的關(guān)鍵，在②中利用兩平行線間的距離為定值表示出S₁，S₂，S₃是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性質(zhì)較強(qiáng)，難度較大．