Question

20．如圖，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點，點P在線段BC上以3cm/秒的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．
（1）若點Q的速度與點P的速度相等，1秒鐘時，△BPD與△CQP是否全等？請給出解釋并說明；
（2）點Q的速度與點P的速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD≌△CPQ；
（3）若點Q以（2）中的速度從點C出發(fā)，點P以原來運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿ABC的三邊運動，則經(jīng)過多長時間，點P與點Q第一次在△ABC的其中一條邊上相遇．

Answer 1

分析 （1）求出BP、CQ、CP，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）設(shè)當(dāng)點Q的運動速度為xcm/秒，時間是t秒，能夠使△BPD與△CQP全等，求出BD=5cm，BP=3tcm，CP=（8-3t）cm，CQ=xtcm，∠B=∠C，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程，求出方程的解即可；
（3）兩點相遇時，路程差為10+10，即可求出時間t的值．

解答 解：（1）點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP全等，
理由是：∵AB=AC=10cm，點D為AB的中點，
∴∠B=∠C，BD=5cm，
∵BP=CQ=3tcm=3cm，
∴CP=8cm-3cm=5cm=BD，
在△DBP和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△PCQ（SAS）；

（2）設(shè)當(dāng)點Q的運動速度為xcm/秒，時間是t秒，能夠使△BPD與△CQP全等，
求出BD=5cm，BP=3tcm，CP=（8-3t）cm，CQ=xtcm，∠B=∠C，
∴當(dāng)BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ時，△BPD與△CQP全等，
即①3t=xt，5=8-3t，
解得：x=3（不合題意，舍去），
②3t=8-3t，5=xt，
解得：x=$\frac{15}{4}$，
即當(dāng)點Q的運動速度為$\frac{15}{4}$cm/秒時，能夠使△BPD與△CQP全等；

（3）設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，
由題意，得$\frac{15}{4}$x=3x+2×10，
解得x=$\frac{80}{3}$．
∴點P共運動了$\frac{80}{3}$×3=80cm．
△ABC周長為：10+10+8=28cm，
若是運動了三圈即為：28×3=84cm，
∵84-80=4cm＜AB的長度，
∴點P、點Q在AB邊上相遇，
∴經(jīng)過$\frac{80}{3}$s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．

點評 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運用，解題的根據(jù)是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．