Question

11．如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若PB切⊙O于點(diǎn)B，則PB的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 連結(jié)OB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PBO=90°，則利用勾股定理有PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-{2}^{2}}$，所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′的位置時(shí)，OP最小時(shí)，則PB最小，此時(shí)OP=3，然后計(jì)算此時(shí)的PB即可．

解答 解：連結(jié)OB，作OP′⊥l于P′如圖，OP′=3，
∵PB切⊙O于點(diǎn)B，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∴PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-{2}^{2}}$，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′的位置時(shí)，OP最小時(shí)，則PB最小，此時(shí)OP=3，
∴PB的最小值為$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂線段最短．