Question

20．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=3，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC取最小值時(shí)．
（1）在圖中確定點(diǎn)P的位置，并保留作圖痕跡（不要求尺規(guī)作圖）；
（2）求出PA+PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得D點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得答案；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得DE、OE的長，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答 解：如圖：，
（2）DC關(guān)于OB對(duì)稱，作DE⊥OA于E點(diǎn)，得
OD=OC=$\frac{1}{2}$，∠DOC=60°，
△ODC是等邊三角形．
DE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，OE=$\frac{1}{4}$．
AE=3-$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{4}$．
由勾股定理，得
AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{11}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
PA+PC=PA+PD=AD=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱，利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱得出等邊三角形的判定是解題關(guān)鍵．