Question

17．如圖，拋物線y=-x²+4x+5與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線y=$-\frac{3}{4}x+3$與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．P是x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若PE=5EF，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）由題意P（m，-m²+4m+5），E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F(xiàn)（m，0），由PE=5EF，可得-m²+4m+5-（-$\frac{3}{4}$m+3）=5（-$\frac{3}{4}$m+3），解方程即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=-x²+4x+5，令y=0得到-x²+4x+5=0，解得x=-1或5，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，0），B（5，0）．

（2）由題意P（m，-m²+4m+5），E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F(xiàn)（m，0），
①點(diǎn)E在點(diǎn)F上方時，
∵PE=5EF，
∴-m²+4m+5-（-$\frac{3}{4}$m+3）=5（-$\frac{3}{4}$m+3），
整理得2m²-17m+26=0，
解得m=2或$\frac{13}{2}$舍棄．
②點(diǎn)E在點(diǎn)F時，∴-m²+4m+5-（-$\frac{3}{4}$m+3）=5（$\frac{3}{4}$m-3），
解得m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$（舍棄），
綜上所述，滿足條件的m的值為2或$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型，注意有兩解．