Question

12．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是直徑，BC=BA，在∠ACB的內(nèi)部作∠ACF=30°，且CF=CA，過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，連接BF．
（1）若CF交⊙O于點(diǎn)G，⊙O的半徑是4，求$\widehat{AG}$的長；
（2）請判斷直線BF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OG，利用弧長公式直接計(jì)算即可；
（2）結(jié)論：BF是⊙O的切線．連接OB，只要證明OB⊥BF即可；

解答 解：（1）連接OG．
∵∠AOG=2∠ACF=60°，OA=4，
∴$\widehat{AG}$的長=$\frac{60•π•4}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

（2）結(jié)論：BF是⊙O的切線．
理由：連接OB．
∵AC是直徑，
∴∠CBA=90°，
∵BC=BA，OC=OA，
∴OB⊥AC，
∵FH⊥AC，
∴OB∥FH，
在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$CF，
∵CA=CF，
∴FH=$\frac{1}{2}$AC=OC=OA=OB，
∴四邊形BOHF是平行四邊形，
∵∠FHO=90°，
∴四邊形BOHF是矩形，
∴∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、矩形的判定．等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題．