Question

13．如圖1，拋物線y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C兩點(diǎn)重合），在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，將△ADO以x軸為對(duì)稱(chēng)軸翻折，得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．
求：當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為多少時(shí)，點(diǎn)E恰好落在拋物線的圖象上？并判斷此時(shí)的四邊形AEOD是否為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)M（m，n）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線，垂足為N，連接MC，則當(dāng)m為何值時(shí)，△MCN和△AOC相似？請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值（與△AOC重合的除外）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)x=0時(shí)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)y=0時(shí)，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得AC的解析式，根據(jù)函數(shù)解析式，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)D、E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)在拋物線上，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3=0，解得x₁=-4，x₂=-1，即A（-4，0），B（-1，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C（0，3）；
（2）設(shè)AC的解析式為y=kx+b，將A、C坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，
設(shè)D（a，$\frac{3}{4}$a+3），由D、E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，得E（a，-$\frac{3}{4}$a-3）．
把E點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得$\frac{3}{4}$a²+$\frac{15}{4}$a+3=-$\frac{3}{4}$a-3．
解得a=-2，a=-4（不符合題意要舍去），
D（-2，$\frac{3}{2}$）．
四邊形AEDO是菱形，理由如下：
∵△ADO與△AEO關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴AD=AE，DO=EO，
∵DE是AO的垂直平分線，
∴AD=DO．
∴AD=AE=DO=EO，
∴四邊形AEDO是菱形；
（3）如圖：

△MNC∽△AOC時(shí)，$\frac{MN}{AO}$=$\frac{CN}{CO}$．
當(dāng)m＞0時(shí)，$\frac{m}{4}$=$\frac{\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{15}{4}m}{3}$，
解得m=0（不符合題意要舍去）或m=-12（不符合題意要舍去）；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，$\frac{m}{4}$=$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{15}{4}m}{3}$，解得m=0（不符合題意要舍去）m=-6（不符合題意要舍去）；
當(dāng)-4＜m＜-1時(shí)，$\frac{m}{4}$=$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{15}{4}m}{3}$，解得m=0（不符合題意要舍去）m=-6（不符合題意要舍去）；
當(dāng)m＜-4時(shí)，$\frac{m}{4}$=$\frac{\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{15}{4}m}{3}$，
解得m=0（不符合題意要舍去）或m=-12；
綜上所述：m=-12時(shí)，△MNC∽△AOC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）利用了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，菱形的判定；（3）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．